Введите слово или словосочетание на любом языке 👆
Язык:
Перевод и анализ слов искусственным интеллектом ChatGPT
На этой странице Вы можете получить подробный анализ слова или словосочетания, произведенный с помощью лучшей на сегодняшний день технологии искусственного интеллекта:
- как употребляется слово
- частота употребления
- используется оно чаще в устной или письменной речи
- варианты перевода слова
- примеры употребления (несколько фраз с переводом)
- этимология
Что (кто) такое ОБЩАЯ МЕРА - определение
СТРАНИЦА ЗНАЧЕНИЙ В ПРОЕКТЕ ВИКИМЕДИА
Мера вероятности; Мера (река)
ОБЩАЯ МЕРА
двух или нескольких однородных величин , величина того же рода, содержащаяся целое число раз в каждой из них. См. Соизмеримые и несоизмеримые величины.
Общая мера
двух или нескольких однородных величин, величина того же рода, содержащаяся целое число раз во всех заданных величинах. Две величины, не имеющие О. м., называются несоизмеримыми. См. Соизмеримые и несоизмеримые величины.
Мера множества
АДДИТИВНАЯ ЧИСЛЕННОЗНАЧНАЯ ФУНКЦИЯ ОТ МНОЖЕСТВА
Носитель меры; Пространство с мерой; Конечно-аддитивная мера; Σ-аддитивность; Теория меры; Счётно-аддитивная мера; Мера (математика); Финитная мера; Меры теория
математическое понятие, обобщающее понятия длины отрезка, площади плоской фигуры и объёма тела на множества более общей природы. В качестве примера можно привести определение меры Лебега (введённой А. Лебегом в 1902) для ограниченных множеств, лежащих на плоскости. При определении меры Лебега, так же как и при определении площади плоских фигур в геометрии, исходят из сравнения части плоскости, занимаемой множеством, с выбранной единицей измерения. При этом и способ сравнения напоминает обычный процесс измерения площади. Меру Лебега m (Δ) любого квадрата Δ полагают равной его площади. Затем рассматриваемое множество А покрывают конечным или бесконечным числом квадратов Δ1, Δ2,..., Δn,...; нижнюю грань чисел
взятую по всевозможным покрытиям множества А, называют верхней (внешней) мерой m*(А) множества А. Нижняя (внутренняя) мера m* (А) множества А определяется как разность
где Δ - какой-либо квадрат, содержащий множество А, и 
- множество всех точек этого квадрата, не содержащихся в А. Множества, для которых верхняя мера равна нижней, называют измеримыми по Лебегу, а общее значение m (А) верхней и нижней мер - мерой Лебега множества А. Геометрические фигуры, имеющие площадь в элементарном смысле (см. Квадрируемая область), измеримы, и их мера Лебега совпадает с их площадью. Однако существуют и неквадрируемые измеримые множества. Аналогично можно определить меру Лебега на прямой. При этом верхнюю меру определяют, рассматривая покрытия множества интервалами.
Основные свойства меры Лебега: 1) мера любого множества неотрицательна: m (A)Δ ́≥ ́0; 2) мера суммы
конечной или счётной системы попарно непересекающихся множеств A1, A2..., An... равна сумме их мер:
3) при перемещении множества как твёрдого тела его мера не меняется.
Своеобразие понятия "М. м." можно пояснить следующим примером: множество А рациональных точек интервала (0, 1) и множество В иррациональных точек того же интервала сходны в том смысле, что каждое из них плотно на интервале (0, 1), т. е., что между любыми двумя точками указанного интервала найдутся как точки множества А, так и точки множества В; в то же время они резко различаются по мере: m (А) = 0, а m (В) = 1.
Для более узких классов множеств мера, совпадающая с лебеговской, была ранее определена М. Э. К. Жорданом (1893) и Э. Борелем (См. Борель) (1898). О других вопросах, связанных с мерой Лебега, см. Интеграл.
Развитие ряда отделов современной математики привело к дальнейшим обобщениям - созданию т. н. абстрактной теории меры. При этом М. м. определяют аксиоматически. Пусть U - произвольное множество и 
- некоторое семейство его подмножеств. Неотрицательную функцию μ(A), определённую для всех А, входящих в 
, называют мерой, если она вполне аддитивна [т. е., если для любой последовательности непересекающихся множеств A1, A2,..., An,..., входящих в , сумма А которых входит в , имеет место равенство
- некоторое семейство его подмножеств. Неотрицательную функцию μ(A), определённую для всех А, входящих в , называют мерой, если она вполне аддитивна [т. е., если для любой последовательности непересекающихся множеств A1, A2,..., An,..., входящих в , сумма А которых входит в , имеет место равенство и если, кроме того, система удовлетворяет определённым дополнительным условиям. Множества, входящие в , называют измеримыми (по отношению к мере μ). После того как определена мера μ, вводят понятие измеримых (по отношению к μ) функций и операцию интегрирования.
удовлетворяет определённым дополнительным условиям. Множества, входящие в , называют измеримыми (по отношению к мере μ). После того как определена мера μ, вводят понятие измеримых (по отношению к μ) функций и операцию интегрирования. Многие основные утверждения из теории меры Лебега, теории измеримых функций и интеграла Лебега сохраняются с соответствующими видоизменениями и в абстрактной теории меры и интеграла. Последняя составляет математическое основание современной теории вероятностей, данное в 1933 А. Н. Колмогоровым. Специальный интерес для ряда областей математики представляют меры, инвариантные по отношению к той или иной группе преобразований множества U в себя.
Лит.: Колмогоров А. Н., Фомин С. В., Элементы теории функций и функционального анализа, 3 изд., М., 1972; Лебег А., Интегрирование и отыскание примитивных функций, пер. с франц., М. - Л., 1934; Сакс С., Теория интеграла, пер. с англ., М., 1949; Халмош П. Р., Теория меры, пер. с англ., М., 1953.
Ю. В. Прохоров.
